円運動〜その舞台裏〜修正版
ここでは円運動について考えてみたいと思います。
上図のように反時計周りに円運動する物体について考えます。
物体のある位置における角度を上図のようにθ、
円の半径をｒ
とします。すると、物体の座標（ｘ、ｙ）はθとｒを用いて
（x,y）= (rcosθ,rsinθ)
実はこれが原点０から物体の位置へのベクトルも同時に表しています。（ベクトルの成分を用いてベクトルを表しています。）
上図のように物体の位置をPとすると、ベクトルであらわすと
となります。
大きさが１のベクトルを単位ベクトルと言うのですが、まさに
が単位ベクトルになります。
大きさが１なので
は向きだけをあわらしていると考えられます。
向きだけというよりは
軸をあらわしている
と考えるとずっと理解しやすいと思います。
たとえば
(cosθ、sinθ)
なら軸を下図のようにとっている。
OからPの方向です。
したがってPの座標は
（x,y）= (rcosθ,rsinθ)
とあらわせます。
Oから軸の方向にｒいった点です。
{cos(θ+π),sin(θ+π)}
なら軸を下図のようにとっています。
今度はPからOの方向です。
この時、Pの座標をあらわすと
（x,y）= -r{cos(θ+π),sin(θ+π)}
となります。Oから軸の方向に-r移動した点と解釈できます。
変形すると結局は
（x,y）= (rcosθ,rsinθ)
となります。
同様に速度の場合もやってみます。
速度は
とあらわせます。
この場合、
は軸を下図のようにとっています。
わかりやすくすると下図のように軸をとっています。(円の接線方向)
軸を上のようにとって
もしｖ(速さ)が負だったら
が負ということです。
もっと重要な事は、軸を上図のようにとったなら
の符号を気にする必要がなく、軸の方向に
が成り立つことです。
加速度についても同様にやってみましょう。
加速度は
とあらわせ、わかりやすくすると
となります。加速度の場合は軸が接線方向と円の中心方向の二つになります。
{cos(θ+π),sin(θ+π)}
が円の中心方向で
が円の接線方向です。
それぞれの軸を図に書いてあげると下図のようになります。
円の中心方向の加速度の大きさは
で常に０以上だから問題はなく
円の中心に向かう方向を正として運動方程式を立ててあげればよいです。
問題は接線方向です。
上図のように軸をとって、円の接線方向の運動方程式をたてて
もし加速度の大きさが負になったら
が負ということです。
接線方向は使わないといったのになぜここまでやるのか。それは
円運動におけるエネルギー保存則は
円の接線方向の運動方程式から求まる。
からです。
はたしかに求まりませんが
エネルギー保存則の式は導けるのです。
そのために接線方向の運動方程式をたてる際に
どちらの向きに軸があるのかわからなくなるのを防ぐためにも
しつこくやっているわけです。
軸の向きは角度（ここの例ではθ）の取り方によって決まってきます。
今は、ｘ軸から反時計回りにθをとりました。
別にｙ軸から時計回りにθをとってもいいわけです。
その時の加速度の軸を書くと下図のようになります。
（疑わしかったら自分で確認すると良いです。）
一般に
速度と接線方向の加速度の軸は同じ向きになって
角度を取った方向に軸ができます。
上図の例ならばy軸から時計回りに角度を取っているので
円の接線方向について、軸も時計回りの方向に出来ています。
実際に、簡単な問題で接線方向の運動方程式をたてて
エネルギー保存則が成り立つ事を確認してみると面白いと思います。
その際につまづかないようにしつこいですが
といった単位ベクトルは軸の方向と考えてしまいましょう。