問題１２ 問５の解答
問題文に書いてあるように、物体の運動方程式は
ベルトに対して静止するまで問２で求めた運動方程式と同じです。
なかには、壁から見たら物体は
壁に向かってくるように運動する（左向きに運動する）から
動摩擦力の働く方向は逆（図の右向き）になるんじゃないのか？
と思ってる人もいるんじゃないでしょうか。
これは間違っているのですが、なぜ間違いなのか解説したいと思います。
ベルトから物体に、物体の運動を妨げる向きに働きます。
ここで注目してもらいたいのは、ベルトから見て物体はどちら向きに運動しているのかという点です。
これは相対速度を考えればわかります。
たとえば問４で求めた、壁からもっとも離れる位置では、物体は壁からみたら静止しているので、物体の速度は０です。
しかし、ベルトから見ると物体は速度ω{=0-(-ω)}で運動しています。
つまりベルトから見たら物体は右向きに運動しているのです。
次に、物体が壁からみて速さＶで壁に向かっていく方向に運動している時を考えてみます。
相対速度を考えてあげると、ベルトからみて物体は
ベルトから見た物体の速度＝物体の速度−ベルトの速度＝−Ｖ − （−ω）
より、速度 −Ｖ ＋ ωで運動しています。
これは物体が壁に向かっている時でも、物体の速さがベルトの速さωを超えない限り
ベルトから見ると物体は右向きに運動していることを意味します。
そして、物体の速さがベルトの速さと同じになったら
物体はベルトに対して静止するので
物体とベルトの間には動摩擦力ではなく静止摩擦力が働きます。
以上より、ベルトから見ると、物体はベルトに対して静止するまで右向きに運動するので
問題文の記述は正しく、物体は左向きに動摩擦力を受けることがわかります。
今、求めたいのはベルトに対して静止する位置のｘの位置ですが、
上に書いたように物体の速度がベルトの速度と一致するときに物体はベルトに対して静止します。
物体の運動方程式は、物体の加速度をaとすると
ma = -k(x-L)
とあらわせるので、物体は単振動することがわかります。
また、物体の単振動の角振動数を
になるのが運動方程式よりわかります。
したがって物体の位置と時間の関係は
ある定数Ａ、Ｂを用いると
x − L=Acos
上の式を時間で微分してあげると、物体の速度ｖと時間の関係が求まり
ｖ=−
となります。
初期条件（ｔ＝０）より、ｘ＝
0 = B
となります。
B=0より
x − L=Acos
ｖ=−
と書きなおせます。
Ａ、
再確認で、求めたいのは物体の速度がベルトの速度と同じになった位置ですから
時刻Ｔの時に、物体の速度が−ωになって、位置がＸであったとして
位置Ｘを計算して求めていきます。代入すると
Ｘ − L=Acos
−ω=−
となります。
と式を変形して、両辺を２乗してあげると
となります。ここで２つの式を足し合わせてあげます。その際、
を用いると
となります。したがってＸ−Ｌは
となります。±で２通り出てきますが、求めたいのは最初に物体の速度が−ωになる時です。
物体は壁から最も離れた位置からだんだん壁に近づいています。
したがって最初に速度が−ωになるのは＋のほうですのでＸは
となり、Ａ、
となります。念のためいっておきますと
問題１２ 問６の解答 へ