物理教室

問題４　解答�C

(４):

最初、物体はベルトと同じ速さで運動しているので
ベルトから見て物体は静止しています。
したがって物体とベルトの間に働くのは動摩擦力ではなく静止摩擦力です。
静止摩擦力以外に物体に働く力は（３）の時と同じです。
「ばねの伸びが l_B になる点で物体はベルトに対して滑り始めた」とありますから
この地点で静止摩擦力は最大静止摩擦力になったのがわかります。
滑り出す直前はまだ力がつりあっていますから
ベルトに垂直な方向の力の釣り合いを考えてあげると
垂直抗力をＮとすると力のつりあいは
Ｎ＝ mgcosθ
ベルトに水平な方向の力の釣り合いを考えてあげると
ｋl_B = mgsinθ + μ_sN
したがって

求めたのは ｌ（＝ l_B-l_A ） で l_A は（２）で求めていますから答えは

物体がベルトに対して滑りだした後に
物体に働く力は（３）の時と同じですから運動方程式も同じになります。
したがって運動方程式は
ma = -kx
となります。
物体の時刻と位置の関係と速度と時刻の関係も
物体がベルトに対して滑り出した時刻を ｔ＝０とすると
ある定数Ａ，Ｂを用いて（３）と同様に
ｘ＝Ａcosωt+Bsinωｔ
ｖ＝-ωＡsinωt+ωＢcosωt
となりますが
物体の初期位置がｘ＝l
初速度がＶ₀
ですから
A=l
ωB=V₀
となります。

向きを変える時、物体の速度は０になります。
このときの時刻をt₃としてあげて
それぞれvの式に代入してあげると
0=-ωAsinωt₃+ωＢcosωt₃
となります。両辺ωで割ると
0=-Asinωt₃+Ｂcosωt₃
次に、向きを変える時の位置はｘ＝A₂ですから
ｘの式に代入すると
A₂ =Acosωt₃ +Ｂsinωt₃
となります。
求まった二つの式を二乗して足しあわせてあげると
sin²ωt₃+cos²ωt₃=1
より
A₂²=A²+B²
となります。Ａ、Ｂ、ωは求まっていて、
求めたいA₂の座標は A₂ ＞ 0 ですから
答えは

同様に
点０（ｘ＝０）を通過するときの時刻を t₂ として
ｘ式に代入すると
0=Acosωt₂+Ｂsinωt₂
両辺にωをかけると
0=ωAcosωt₂ +ωＢsinωt₂
となります。
また、点０を通過するときの速さは V₂ですから
ｖ式に代入してあげると
V₂=-ωAsinωt₂+ωＢcosωt₂
求まった二つの式を二乗して足し合わせると
sin²ωt₂+cos²ωt₂=1
より
V₂²=ω²A²+ω²B²
となります。
求めたいのは速度ではなく速さで
すでにω、Ａ、Ｂはわかっていますから代入してあげると答えは


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