物理教室

問題６　[b]の解答

P点から斜面に沿ってｓだけのぼった地点Qでの小物体の速さが求めたい答えなので
まずは、小物体の斜面方向の運動方程式を立ててみましょう。
そのために、P点からQ点に向かう方向に軸を取って斜面方向に働く力を力を書き出すと以下のようになります。

小物体の加速度をa、斜面からの垂直抗力をNとすると運動方程式は
ma = mαcosθ - mgsinθ - μ^'N
垂直抗力Nがわからないので
斜面に垂直な方向に働く力を考えてあげると下図のようになります。

斜面に垂直な方向に関して力はつりあっていますから（つりあっていないと斜面に垂直な方向に運動してしまう！）
力の釣り合いを考えてあげると
N = mαsinθ + mgcosθ
この式を運動方程式に代入すると
ma = mαcosθ -mgsinθ-μ^'(mαsinθ + mgcosθ)
両辺からｍを消去して整理すると
a = αcosθ -gsinθ-μ^'αsinθ - μ^'gcosθ
この式の両辺をｔで積分してあげましょう。
ある時刻での小物体の速度をｖ、位置をｘとし
P点での時刻を０、位置を０とし
Q点での時刻をt_q、位置をｓとします。
αcosθ -gsinθ-μ^'αsinθ - μ^'gcosθは定数なのでXと置いておきます。(計算を楽にするため。）
(αは一定、θも一定、ｇ、μ^' も一定だからすべて定数になる。)
そうして積分すると



Q点での小物体の速度はv_Qより
v_Q- 0 =　Xt_q　- 0
したがってO点での時刻は

とあらわせます。
ある時刻での小物体の速度は
v = Xt
（下の式の積分範囲を０からｔにしてあげると求まります。）

より、この式をさらにｔで積分すると



Q点での位置はｓより

整理してあげると

となりこの式にQ点での時刻を代入してあげると

したがってQ点での小物体の速度は

となり、これがそのままQ点通過時の小物体の速さv_Qになるから答えはXを代入してあげて

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