運動量 最終章
ここでは、運動量について微積を用いて説明しています。
ここまで運動量について色々と書いてきました。
一歩上の運動量では
力積 ＝ 運動量の変化
と書きました。
では、そもそもなんでこんな関係がでてくるのでしょうか？
その謎をここではぜひ解き明かして行こうと思います。
上図を例に説明していきます。
まず、二つの物体が衝突する際、二つの物体にはお互いに力が働きます。
この力は作用・反作用の力と呼ばれる力です。
上の図は二つの物体Ａ、Ｂが衝突する際の様子をあらわしています。
水平方向右側を正とし
衝突の際に、物体に働く力の大きさをＦ、
物体Ａの質量をｍ、
物体Ｂの質量をＭ とします。
図の場合では、衝突の際、二つの物体には力Ｆが働いています。
ここでは、わかりやすくするために仮に力Ｆを一定とします。
では衝突の際の物体Ａ、物体Ｂ それぞれについて
運動方程式を立ててみましょう。
物体Ａについて、Ａの加速度をαとすると
- F = mα
物体Ｂについて、Ｂの加速度をβとすると
F = Mβ
物体に力が働いているのは衝突している間だけです。
ですから、衝突直前(tb とする。)と衝突直後(ta とする。)の区間で
物体Ａ、物体Ｂそれぞれの運動方程式を時間 t に関して積分してみましょう。
物体Ａ、Ｂそれぞれについて、ある時刻における速度をvt 、Vt とすると
位置、速度、加速度の関係より
であるから
物体Ａについて積分すると
計算していくと
となります。衝突前後で速さが以下の図のように変化したとしたら
衝突直前の物体Ａの速度は ｖ
衝突直後の物体Ａの速度は - v'
したがって
となります。
物体Ｂについても同様に積分してみましょう。
衝突直前の物体Ｂの速度は - V
衝突直後の物体Ｂの速度は V'
ですから
となります。
まさに物体Ａ、物体Ｂから今もとまったこの二つの式が
「力積 ＝ 運動量の変化」
をあらわしています。
この場合、力積はＦｔで、
（力積）＝（衝突前の運動量）−（衝突後の運動量）
になっています。
さらに、この二つの式からＦｔを消去してあげると
- { (-MV) - (M
より
mv + (-MV) = ( - m
となって、この式は
（衝突前の運動量の総和）＝（衝突後の運動量の総和）
を意味し、運動量保存則が成り立っているのが確認できます。