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速度と角速度の関係

ここでは、タイトル通りですが「速度と角速度の関係」について説明しています。


まず角速度とは
単位時間あたりの回転角
のことです。これを角速度と呼びます。

速度は
単位時間あたりの変位です。
変位とは移動距離と向きを表します。

速度と角速度の関係は
速度を v
角速度を ω
円の半径を r
とすると
v=rω
となります。

[ここがポイント!]
速度と角速度の関係は 速度を v 、角速度を ω、円の半径を rとすると、 v = rω と表せます。
無駄な暗記はおすすめしていませんが正直な話、この関係は覚えてしまった方がはやいです。     


※補足
v = rω はすぐ求められるのでは?といったニュアンスのご指摘をいただいたので v = rω の求め方を紹介しておきます。
ご指摘してくださった方、誠にありがとうございます。
それではどうぞ。



まず上図のような 半径 r 、中心角 θ の扇形の弧の長さ l は l = rθ で表わすことができます。

弧の長さ l は円全体の弧の長さ(円周の長さ 2πr )のうち、 角度 θ 分の弧の長さに対応していると考えることができます。
したがって、 l   =   2 π r × θ 2 π =   r θ
と求められます。分母の 2πは円全体の角度です。


実は、この弧の長さが円周上での位置も表わすことになります。

上図のように弧に沿うように x 軸と原点をとってあげると、
円周上の任意の位置 l は rθ と表わすことができます。
式にすると     l = rθ

ここで位置 l の時の速度を v 、時間を t とすると、
時間 t と位置 l と速度 v の関係は
v   =   dl dt l = rθ であるから両辺を時間 t で微分してあげると
dl dt = r d θ dt
また、角度と角速度の関係は
ω = d θ dt 以上より
v = dl dt = r d θ dt = r ω
となり
v = r ω
が求められる。


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