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積分で表わされた関数の微分

ここでは定積分で表わされた関数を微分する問題の解き方を説明しています。
物理でも使えるので知っておいて損はありません。


「積分で表わされた関数の微分」のタイトルをみて、意味がわからないと思った方もいらっしゃるでしょうからまずは問題を見てみましょう。

●次の関数を x について微分せよ。
y = 0 x sin2tdt


実際に見ていただいてどのような問題かはわかっていただけたのではないでしょうか。
このような問題は積分したものを微分しており、真面目に解くと時間がかかってしまうので手を抜くことをオススメします。

[ここがポイント!]
t で積分しているなら  積分した関数を F(t) などと置いて計算するとよい

もし s で積分しているなら F(s) としてあげると良いです。
基本的にはこうやって計算してあげると真面目に積分して微分するよりかはラクになりますが、
問題によっては結局 F(t) を計算するハメになります。しかもわりとありますが、それは別の場所で説明することにします。


この、積分結果を実際に計算して求めないで F(t) と置く手法が、微積を用いて物理を理解するときに使えるので知っておくと良いです。

それでは実際にこの問題を例にやってみましょう。
この問題は sin2t を t で積分してから x で微分しています。そこでまず、
sin2tdt
を F(t) とおきます。
※『おく』という意味は sin2tdt
の計算結果を仮に F(t) としているという意味です。

これを利用して問題を計算すると
y = 0 x sin2tdt    = F ( t ) 0 x    = F ( x ) F ( 0 )
となります。後は y を x で微分してあげましょう。
sin2t を t で積分した結果を F(t) と置いていたので F(x) は sin2x を x で積分した結果ということになります。
したがって、 F(x) を x で微分したら sin2x になります。
F(0) は定数なので微分したら 0 になります。
※関数の変数に 0 などの定数を代入したものは定数になります。F(1) などももちろん定数になります。
したがって y を x で微分すると
y = F ( x ) F ( 0 )      = sin2x
となります。


ちなみに普通に計算すると以下のようになります。


まず積分してあげると
y = 0 x sin2tdt    = cos2t 2 0 x    = cos2x 2 1 2
となるので次に y を x で微分してあげると
y = cos2x 2 1 2       = sin2x
このように結局、結果は同じになります。




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