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置換積分

ここでは置換積分の仕方を説明しています。


置換積分は、置換して微分した時と同様に置換して積分することです。
やるコトも同じでそのまま積分したら難しそうな積分を自分で上手く置き換えることにより簡単な積分に落とし込む手法です。


[ここがポイント!]
複雑な式を積分する際は 
任意の文字で置き換えて簡単な式にしてから積分 すると楽になります。
その際に、定積分の場合は積分範囲も置き換えるコトを忘れないように!

微分が積分になっただけでポイントは微分の時とだいたい同じです。
言葉だけでは説明しにくいので例を見てみましょう。


●次の定積分を解いて下さい。
0 1 3 x 1 2 dx

この問題に関しては、はじめに( 3x - 1 )2 の部分を展開してから積分してあげれば特に置換しなくても解く事はできます。
…が、今回は置換を使って解いてみます。

まずどうやって自分の知っている積分の形に持っていくかですが、だいたい決まったパターンがあります。
パターンを覚えてしまえば、後は色々問題を解いていくとだいたいこうすれば解けそうだなとわかってきます。
申し訳ないのですが、ここでは置換積分のしかたがメインのため置換のパターンについては詳しく触れません。

この問題の場合は超定番の置換パターンを使って解きます。
xn の積分はもう解けると思います。
この問題を見てみると( 3x - 1 )2となっています。
この問題のように ( )n となっている場合は ( ) の中を置換してあげると xn の積分の形に持っていけるコトが多いです。

早速 ( ) の中について、 3x -1 = t と置換してみます。
とりあえず問題は
0 1 t 2 dx
こんな感じに置き換えることができます。ただ、これだとまだ置換しきれていません。
注意してほしいのは、 x を t で置換したならすべての x の部分を t に置換するコトです。
定積分の場合は積分範囲を置換し忘れるコトが多いので本当に気をつけてください。
x の部分はすべて t に置き換えるのでもちろん dx の部分も dt に置き換えます。

dx を dt に置き換える方法ですが、 3x -1 = t としているのでこの式を x で微分してあげます。
左辺は普通に x で微分でき、3 になりますが、右辺の t って x で微分できるのか?と思うかと思います。
右辺は x で微分してあげると
dt dx
になります。まぁ、こんな感じで表現できます。したがって、 3x -1 = t を x で微分してあげると
3 = dt dx
になります。
ここから先の dx から dt への方法は正確には正しくないと私は習いましたが、 大学受験で間違ったことはなく問題がまったくない上にわかりやすかったのでその方法で進めたいと思います。
次に両辺に dx を掛けてあげます。すると
3 dx = dt
となり、あとは「 dx = 」の形にしてあげると
dx = dt 3
となります。これで dx から dt への変換ができました。
ここまでの置換をおさらいすると
0 1 t 2 dt 3 = 0 1 t 2 3 dt
となり、後は積分範囲だけです。

積分範囲について、x で積分するときは 0 → 1 でした。
t で積分するときは、 3x - 1 = t と置いていることから この式の x の部分に 0 と 1 をそれぞれ代入してあげれば t の時の積分範囲が求まります。
0 を代入してあげると -1 = t に 1 を代入してあげると 2 = t となります。
ゆえに t の時の積分範囲は -1 → 2 になります。

積分範囲
x 0 → 1
t -1 → 2


以上より
0 1 3 x 1 2 dx
は 3x -1 = t とおくと
1 2 t 2 3 dt
と置き換えることができます。
ここまで来たら後は普通に積分してあげれば答えが求まります。
1 2 t 2 3 dt = t 3 9 1 2 = 8 9 ( 1 9 ) = 1
したがって答えは 1 になります。


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