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積分

物理で必要となる積分について説明します。
ここでは最低限必要となる積分に関する知識について説明しています。


[ここがポイント!]
基本的に、 積分は微分の逆 の作業です。

積分で行っていることは微分の逆の作業なので「積分は微分の逆」と覚えておくと楽です。
後は、積分の記号等の最低限の知識をここで覚えてしまいましょう。


まず、積分には積分区間がある定積分と 積分区間がない不定積分があります。
物理で用いるのは定積分です。
それでは定積分と不定積分の違いを実際に例を使って見ていきましょう。

x3 を微分すると 3x2 でした。
積分は微分の逆なので
3x2 を積分すると x3 になりますがこのままではテストで減点されてしまいます。
具体的にどこがまずいのか定積分と不定積分の場合に分けて説明します。


その前に積分の記号は になります。『積分』または『インテグラル』と呼びます。
「 3x2 の積分」は
3 x 2 dx のように書きます。x で積分しているので dx となっています。
物理では時間 t で積分するので   dt の形式になるので注意して下さい。


●それでは 3x2 の積分 3 x 2 dx 不定積分の場合を説明します。答えから言うと
3 x 2 dx   =   x 3 + C となります。C は積分定数と呼ばれるものです。
不定積分の注意点は 1 つで、
不定積分の場合は積分定数を忘れないようにするコトだけです。
これはどういうコトかと言いますと、
定数は微分すると 0 になるので逆に積分したら定数が出てくるかもしれませんが
定数がわからないために C という積分定数を使っているわけです。
ですから、不定積分の場合は積分定数を忘れないようにしてください。
積分定数にはよく C が用いられます。


●次に 3x2 の積分 3 x 2 dx 定積分の場合を説明します。定積分は物理でも用いるので非常に重要です。
定積分には積分区間があるため不定積分であるか定積分であるかを見分けるのは簡単です。
例えば、 x = 2 から x = 5 まで 3x2 を積分するとしたら 2 5 3 x 2 dx と書きます。()は積分するのは 3x2 であるコトを見分けやすくするために付けてあります。
積分記号に小さい文字(この場合なら 2 と 5 )が付いていたら定積分になります。
そして、この 2 と 5 が積分区間になります。x = 2 から x = 5 まで積分するという意味です。


後は定積分の流れを把握しましょう。答えまでの流れを書くと
2 5 3 x 2 dx = x 3 2 5                    = 5 3 2 3                = 117 となります。どの定積分もこのような流れになります。
最初の = の右側にある [ ] について、
[ ] の中には微分したら 3x2 になるものが入ります。微分して 3x2 になるものは x3 なのでこれが [ ] の中に入ります。
積分区間である 2 と 5 が [ ] の右側に来ている点にも注意してください。この辺は定積分の流れとして覚えてしまった方がよいです。
次に 2 つ目の = の右側について、
[ ] の中の x に [ ] の外の右上の 5 を代入したものから 右下の 2 を代入したものを引きます。
[ ] の右上を代入したものから右下を代入したものを引くと覚えておけば OK です。
したがって、 53 - 23 = 117 となっています。


ちょっと補足で、
[ ] の中には微分したら 3x2 になるものが入るとあったから
積分定数 C が入ってくるのでは?と考えた方もいるかと思います。
まさにその通りなのですが、実は積分定数が入ってきても以下のように消しあって同じ答えになるので
一般的に定積分では積分定数 C を省略します。 2 5 3 x 2 dx = x 3 + C 2 5                                = 5 3 + C 2 3 + C                    = 5 3 2 3                = 117


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