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部分積分

ここでは部分積分の仕方を説明しています。


積分のやり方の 1 つとして部分積分というやり方があります。
置換積分と同様に知っておくと役立つのでぜひ覚えておきましょう。


[ここがポイント!]
部分積分のやり方は決まっているので  部分積分のやり方 を覚えよう。

部分積分のやり方は、説明が難しいので実際に問題を解きながら覚えていくことを強くオススメします。
教科書に載っている部分積分の公式は次のようになっています。
a b f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) g ( x ) a b a b f ( x ) g ( x ) dx           
まさにこれが部分積分なんですが、私なりに補足しておくと
まず、積分する式全体の中で微分したら簡単な式になる部分を探します。 次に、それ以外の部分を積分した形で表わします。後は部分積分する!
という感じです。
あくまで私なりの覚え方なのでより良い覚え方があったらそちらで覚えてください。
部分積分を使う問題を多くと解いているとそのうちどこを積分すればよいかだいたいわかってきますよー。
それでは次の問題を使って部分積分について説明していきます。


●次の定積分を解いて下さい。
0 π x cos 3x dx

こんな問題解けるのかと思ってしまうかもしれませんが、部分積分を使うと簡単に解けます。
sinx , cosx , logx , ex が絡んだ式を積分するときは部分積分で解くと良い場合が多いです。

部分積分のやり方ですがまず、 ∫記号 と dx に挟まれた式に注目します。
この問題の場合は xcos3x です。
もし xcos3x を見て x 、もしくは cos3x がなければ積分できるのになーと思ったらかなり良い点を突いています。
部分積分では積分に邪魔な部分を消して積分できる形に強引に持って行きます。
ただ、本当に強引に邪魔な部分を消してしまったら問題が変わってしまうので問題が変わらないように邪魔な部分を消します。
というわけでまずは積分できる形にするために邪魔な部分を探します。
今回の問題では x の方に消えてもらいましょう。
なぜ x か? それは x は 微分したら 1 になるからです。
だいたい、微分して簡単な式になる場合は邪魔な部分である場合が多いです


邪魔な部分の目星をつけたら次に、残りの部分を積分した形で表わします。
ちなみに今回の問題の残り部分は cos3x です。これを 本当に積分してしまったら問題が変わってしまうのであくまでも積分した形に直します
若干むりやり感が否めませんが cos3x は、
cos 3x = sin 3x 3           
と表わせます。これが積分した形ということです。
したがって問題は
0 π x cos 3xdx = 0 π x sin 3x 3 dx           
と書き直せます。
0 π x sin 3x 3 dx
は部分積分の公式の形になっているのであとは公式に当てはめて部分積分すれば解けます
実際、これ以降は公式にあてはめているだけです。
私なりの公式の覚え方を教えておくと、問題を積分した形で表わした後は 『 [] - 邪魔な部分を微分してから積分 』と覚えています。
かなりわかりづらいとは思いますので、それぞれ好きなように覚えてもらえればと思います。
この部分は問題を解きながら体で覚えていくのが一番覚えやすいかと。


この問題に公式をあてはめると次のようになります。
0 π x sin 3x 3 dx = x sin 3x 3 0 π 0 π x sin 3x 3 dx           
[ ] の部分は、問題を積分した形で表わした式がそのまま入ります。ただし、()’は入れません。したがって [ ] の中には、
x sin 3x 3           
が入ります。この [ ] は積分の時にでてくる [ ] なので右側に問題と同じ積分範囲が来ます。
後は「 − 邪魔な部分を微分してから積分」 です。
  邪魔な部分とは、最初に目星をつけていた邪魔な部分のことなので x のことです。 したがって x だけを微分したものを積分してあげれば良いのです。
文章で書いていてもわかりにくいので式をみてみましょう。
x sin 3x 3 0 π 0 π x sin 3x 3 dx           
右の項の ( x )' が「邪魔な部分を微分して」にあたります。
実際に微分してあげると次のようになります。
x sin 3x 3 0 π 0 π sin 3x 3 dx           
ここまで来れば後は計算できるので、すべてをおさらいして計算してあげると
0 π x cos 3x dx = 0 π x sin 3x 3 dx                   = x sin 3x 3 0 π 0 π x sin 3x 3 dx                   = x sin 3x 3 0 π 0 π sin 3x 3 dx                   = ( 0 0 )      cos 3x 9 0 π                   = 0     { 1 9 ( 1 9 ) }                 = 2 9
となり答えは
2 9           


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