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xn の積分

ここでは xn の積分について簡潔に説明します。

結論から言います。

[ここがポイント!]
  xn を積分すると(ただし n = -1 は除く)
x n dx = 1 n + 1 x n + 1 + C (Cは積分定数) となります。


積分は微分の逆の作業なので微分と対応させて把握しておくと楽です。
xn の積分の場合、「微分したら xn になるもの」が答えになるということです。
実際に、微分の時と同様に私なりの覚え方を教えます。
もっと良い覚え方がある場合はぜひそちらを利用してください。

xn の微分では nxn-1 となり、 xn の n が n-1 になりました。
xn の積分では
まず xn の 「n」を「n+1」にします。
すると xn+1 になります。
積分は微分の逆の作業なので実は、
積分結果を微分することによって積分結果が正しいか正しくないか確認できます。
xn+1 を微分すると (n+1)xn となります。
これでは n+1 が余計だから正しくないことがわかります。
n+1 が余計なのだから xn+1 に n+1 の逆数の
1 n + 1 を掛けてあげて再度微分して確認してみましょう。
1 n + 1 x n + 1 を微分してあげると xn になり積分結果が正しいのがわかります。
後は積分定数の C を忘れないようにしてあげて
答えは
1 n + 1 x n + 1 + C (Cは積分定数)となります。  


ものすごく大雑把に xn の積分の流れをおさらいしますと
n を n+1 にして、後は微分して帳尻あわせをするといった感じです。
さすがに大雑把すぎる気がしますが私のやり方はこんなテキトーな感じです。


他の例もぜひ見てみましょう。

4x-2  を積分して下さい。

今回は x-2 の前に 4 という係数がありますが、係数がある場合は微分同様に係数を放置して積分を行い、最後に係数を掛けてあげるだけです
実際にやってみましょう。
係数を無視して x-2 を積分すると
まずは「x の右上の -2 」を「 -2 → -1」 にすればよいので x-1 となります。
x-1 を微分すると -x-2 となり、x-2 になるようにするには -1 が余計であることがわかります。
したがって x-1 に -1 を掛けてあげればよく
実際に -x-1 を微分すると x-2 となり正しいのが確認できます。
最後に放置していた係数の4を -x-1 に掛けてあげればよいので解答は
-4x-1 + C
(Cは積分定数)となります。
4 x 2 dx = 4 x 2 dx = 4 x 1 + C


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