エネルギー保存則〜チョットだけよん♪〜
ここでは、力学的エネルギー保存則について
簡単な例をもちいて
チョットだけ説明しています。
（問）
質量ｍの小球を高さｈから自由落下させたとき、地面（高さ０）に衝突する直前の小球の速さを求めなさい。
ただし重力加速度はｇとします。
と聞かれたらあなたはどう求めますか？
おそらくあなたは、小球には外力が働いていないから地面に衝突する直前の速度を
上の力学的エネルギー保存則が成り立つので、求めたい速さは
と求めるでしょう。
実は、この力学的エネルギー保存則
は運動方程式がベースとなっているのです。
それをチョット紹介したいと思います。
落下中に小球に働いている力は重力だけです。
重力の向きはｙ軸と逆向きなので小球に働く力は−ｍｇとなります。
したがって加速度をaとして運動方程式を立ててあげると
-mg = ma
となります。
ここで、小球のある時刻における速度をｖとして
運動方程式の両辺に掛けてあげましょう。ここがポイントです！
すると
-mgv = mav
となります。
より
この式をｔで積分してあげましょう。
小球が高さｈにある時の時刻をth
小球が地面に衝突する直前の時刻をt0として
時刻thからt0までｔで積分すると
となります。計算を進めると
となります。
t=th
の時、ｙ＝ｈ、ｖ＝０
t=t0
の時、ｙ＝０、ｖ＝v0より代入してあげると
したがって力学的エネルギー保存則
が得られ、求めたい速さは