物理教室

問題４　解答�B

(３):

物体に働く力は（２）と同じですのでそのまま用います。
ベルトの動く方向を正にｘ軸をとって
物体の運動方程式を立ててあげると
ma = -k(x + l_A) +　mgsinθ　+ μ_kＮ
なぜ x + l_A　となっているのか？といいますと
原点０をバネが自然長からl_A伸びた点（つりあいの位置）に取っているからからです。
実際にｘに０を代入してあげると
運動方程式の右辺（物体に働く力）が０になるので正しい事がわかります。
また、x = - l_A（バネの自然長）を代入すると弾性力が０になることからも正しいことが確認できます。
（１）から μ_k= tanθ
ベルトに垂直な方向の力のつりあいより N = mgcosθ
(2)からl_Aもわかっていますから用いてあげると
ｋl_A = 2mgsinθ
それぞれ運動方程式に代入してあげると
ma = -kx -2mgsinθ +　2mgsinθ
となり結局
ma = -kｘ
であらわせます。物体は単振動するので運動方程式は
ma = - mω₂x
とあらわせますから比べてあげると
mω₂=k
となって

周期は

であらわせますからωを代入してあげると求めたい周期Ｔは

運動方程式が　ma = -kx　より
物体の位置と時刻の関係はある定数Ａ、Ｂを用いて
ｘ＝Ａcosωt+Bsinωt　
とあらわせます。速度と時刻の関係は時間ｔでこの式を微分してあげると
ｖ＝−ωＡsinωt+ωBcosωt
とあらわせます。
物体の初期位置が A₁
初速度が０より　　　
Ａ＝A₁
Ｂ＝０
となるので
ｘ＝A₁cosωt
ｖ＝−ωA₁sinωｔ
となり点０（ｘ＝０）を通過する時の時刻を ｔ₁として代入してあげると
０＝ A₁ cosωｔ₁
より
0=cosωｔ₁
これを満たすωｔ₁は
０から２πの間では

でｖの式に代入してあげると、点０を通過する速さは Ｖ₁ですから
Ｖ₁=±ωＡ₁
今、求めたいのは
点０を通過する速さ（≧０）ですから
ωを代入してあげると答えは

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